Donc, P(Gain = 0) = Probabilité d’avoir ex aequo avec Pierre, Feuille et ciseaux. Les événements sont indépendants.
Donc on peut dire :
\(P(Gain=0)=0.25*0.25+0.25+*0.25+0.5*0.5=0.375\)
De la même façon,
\(P(Gain=-1)=0.25*0.5+0.25*0.25+0.5*0.25=0.3125\)
\(P(Gain=+1)=0.25*0.25+0.25*0.5+0.5*0.25=0.3125\)
On applique maintenant la formule de l’espérance :
\(E(X)=0*P(Gain=0)+1*P(Gain=1)-1*P(Gain=-1)\)
\(E(X)=0*0.375+1*0.3125-1*0.3125\)
\(E(X)=0\) Donc l’espérance est nulle.
Donc, l’espérance à nouveau est nulle. 3.4.&5. On peut modéliser \(P_{(B)}=(x,y,1-x-y)\) par l’arbre suivant :
Ainsi, \(P(Gain=0)=0.25*x+0.25y+0.5*(1-x-y)=-0.25*x-0.25y+0.5\)
\(P(Gain=-1)=0.25*(1-x-y)+0.25*x+0.5*y=0.25+0.25y\)
\(P(Gain=+1)=0.25y+0.25*(1-x-y)+0.5*x=0.25+0.25*x\)
On applique maintenant la formule de l’espérance :
\(E(X)=0*P(Gain=0)+1*P(Gain=1)-1*P(Gain=-1)\)
$E(X)=0(-0.25x-0.25y+0.5)+1(0.25+0.25x)-1*(0.25+0.25y)
\(E(X)=0.25x-0.25y\)
Le max de E(X) est atteint pour x=1 et y=0, pour une valeur de 0.25 et une probabilité \(P_{(B)}=(1,0,0)\)