DM : Rock Paper Scissors

EXERCICE 1

Le joueur biaisé

  1. Le calcul de l’espérance se fait en utilisant la formule suivante :
    \(\sum_{i=1}^\infty x_{i}*p_i\)

    Autrement dit,
    \(\sum_{i=1}^\infty (i)*p(Gain=i)\)

    Nous avons donc besoin de calculer la probabilité de toutes les issues du jeu. On va donc calculer la probabilité de gagner 1 euro, de perdre 1 euro ou bien de ne rien gagner ni perdre.
    On peut modéliser une partie avec un joueur A \(P_{(A)}=(\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{2})\) et un joueur B \(P_{(B)}=(\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{2})\) de la façon suivante :

Modélisation A:0.25/0.25/0.5 & B:0.25/0.25/0.5
Donc, P(Gain = 0) = Probabilité d’avoir ex aequo avec Pierre, Feuille et ciseaux. Les événements sont indépendants. Modélisation A:0.25/0.25/0.5 & B:0.25/0.25/0.5

Donc on peut dire :

\(P(Gain=0)=0.25*0.25+0.25+*0.25+0.5*0.5=0.375\)
De la même façon,

Modélisation A:0.25/0.25/0.5 & B:0.25/0.25/0.5
\(P(Gain=-1)=0.25*0.5+0.25*0.25+0.5*0.25=0.3125\)
M
\(P(Gain=+1)=0.25*0.25+0.25*0.5+0.5*0.25=0.3125\)

On applique maintenant la formule de l’espérance :
\(E(X)=0*P(Gain=0)+1*P(Gain=1)-1*P(Gain=-1)\)
\(E(X)=0*0.375+1*0.3125-1*0.3125\)
\(E(X)=0\) Donc l’espérance est nulle.

  1. De la même façon avec un joueur A \(P_{(A)}=(\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{2})\) et un joueur B \(P_{(B)}=(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})\) :
    \(P(Gain=0)=0.25*\frac{1}{3}+0.25*\frac{1}{3}+0.5*\frac{1}{3}\)
    \(P(Gain=-1)=0.25*\frac{1}{3}+0.25*\frac{1}{3}+0.5*\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\)
    \(P(Gain=+1)=0.25*\frac{1}{3}+0.25*\frac{1}{3}+0.5*\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\)

    On applique maintenant la formule de l’espérance :
    \(E(X)=0*P(Gain=0)+1*P(Gain=1)-1*P(Gain=-1)\)
    \(E(X)=0*0.375+1*0.3125-1*0.3125\)
    \(E(X)=0\)

Donc, l’espérance à nouveau est nulle. 3.4.&5. On peut modéliser \(P_{(B)}=(x,y,1-x-y)\) par l’arbre suivant :

M

Ainsi, \(P(Gain=0)=0.25*x+0.25y+0.5*(1-x-y)=-0.25*x-0.25y+0.5\)
\(P(Gain=-1)=0.25*(1-x-y)+0.25*x+0.5*y=0.25+0.25y\)
\(P(Gain=+1)=0.25y+0.25*(1-x-y)+0.5*x=0.25+0.25*x\)

On applique maintenant la formule de l’espérance :
\(E(X)=0*P(Gain=0)+1*P(Gain=1)-1*P(Gain=-1)\)
$E(X)=0(-0.25x-0.25y+0.5)+1(0.25+0.25x)-1*(0.25+0.25y)
\(E(X)=0.25x-0.25y\)
Le max de E(X) est atteint pour x=1 et y=0, pour une valeur de 0.25 et une probabilité \(P_{(B)}=(1,0,0)\)