Question 0 :


Intuition Q1 :
Pour P0= (BB0, MM0) = (4, 12)
Dans cette situation on a beaucoup plus d’alléles M que de B dans la popultaion de départ (a l’hauteur de 12 allèles B et 28 allèles M) dès la deuxieme génération on aura au minimum 4 allèles B et au maximum 8 donc on peux dire en moyenne 6 allèles B dont au maximum 2 personnes avec les yeux bleux. On peux donc s’attendre au bout de seulement 20 génération que ce ne soit pas encore stable et donc avoir des résultat très différents les uns des autres avec meme certain résultat ou les allèles B ont totalement disparues.
Pour P0= (BB0, MM0) = (12, 4)
Ici on voit le type d’allèles qui est en minorité est M et on se retrouve dans le meme cas que ci-dessus mais pour l’allèles M on peux donc s’attendre a une non disparition des allèles M.
Pour P0= (BB0, MM0) = (5, 5)
Dans ce dernier cas la première génération est deja équilibré alors on s’attend a ce que la 20eme génération le soit encore même si il y a toujours un risqe de dispartion.

Intuition Q2 :
P0= (400, 1200)
On peux imaginer que le risque de disparition est moindre et qu’avec une population plus nombreuse et plus de génération on va avoir des résultat pour différentes simulation que se ressemble d’avantage que la question précédente et donc qu’on aura en général un peu plus de personnes aux yeux marron qu’au yeux bleu.
P0= (1200, 400)
On va se retrouver dans le même cas que juste au dessus.
P0= (500, 500)
pareil car on a beaucoup de génération et une population élevé qui limite le risque de disparition.

Intuition Q3 :
Ce modèle risque de tendre vers une 2000éme génération stable car on anhile le risque de disparition.

Question 1 :

Init = function(taille, mm0, bb0){
  P0 = rep(0, taille);
  
  for (i in (mm0+1):(taille-bb0)){
    P0[i] = 1;
  }
  for (i in (taille-bb0+1):taille){
    P0[i] = 2;
  }
  P0
}

melange = function(P, taille){
  newP = sample(c(1:taille))
  for (i in 1:taille){
    newP[i] = P[newP[i]]
  }
  newP
}

simulation = function(mm0, bb0, Nb_generation, N){
  for (j in 1:10){
    P0 = Init (N, mm0, bb0);
    P = P0
    bb = rep(0, Nb_generation);
    mm = rep(0, Nb_generation);
    for (i in 1:Nb_generation){
      Pere = P;
      Mere = melange(P, N)
      
      P= ifelse(Pere == 0, 0, ifelse(Pere == 1, sample(x=c(0,1), size = N, replace=T), 1))
      M = ifelse(Mere == 0, 0, ifelse(Mere == 1, sample(x=c(0,1), size = N, replace=T), 1))
      Enfant = M+P
      P = Enfant
      bbi = ifelse(P == 2, 1, 0)
      mmi = ifelse(P == 0, 1, 0)
      BBi = sum(bbi)
      MMi = sum(mmi)
      bb[i] = BBi
      mm[i] = MMi
    }
    x <- seq(0, Nb_generation, length = Nb_generation)
    plot(x, mm, type = "l", ylim = range(c(mm, bb)), xlab = "", ylab = "")
    lines(x, mm, col = "blue")
    lines(x, bb, col = "red")
  }
}

simulation2 = function(mm0, bb0, Nb_generation, N){
  for (j in 1:10){
    P0 = Init (N, mm0, bb0);
    P = P0
    bb = rep(0, Nb_generation);
    mm = rep(0, Nb_generation);
    for (i in 1:Nb_generation){
      Pere = P;
      Mere = melange(P, N)
      
      P= ifelse(Pere == 0, 0, ifelse(Pere == 1, sample(x=c(0,1), size = N, replace=T), 1))
      M = ifelse(Mere == 0, 0, ifelse(Mere == 1, sample(x=c(0,1), size = N, replace=T), 1))
      Enfant = M+P
      Enfant[1] = 2
      Enfant[2] = 0
      P = Enfant
      bbi = ifelse(P == 2, 1, 0)
      mmi = ifelse(P == 0, 1, 0)
      BBi = sum(bbi)
      MMi = sum(mmi)
      bb[i] = BBi
      mm[i] = MMi
    }
    x <- seq(0, Nb_generation, length = Nb_generation)
    plot(x, mm, type = 'l', ylim = range(c(mm, bb)), xlab = "", ylab = "")
    lines(x, mm, col = "blue")
    lines(x, bb, col = "red")
  }
}
set.seed(5);
BB0 = 4;
MM0 = 12;
n = 20;
NB_generation = 20;

simulation(MM0, BB0, NB_generation, n)

set.seed(5);
BB0 = 12;
MM0 = 4;
n = 20;
NB_generation = 20;

simulation(MM0, BB0, NB_generation, n)

set.seed(5);
BB0 = 5;
MM0 = 5;
n = 20;
NB_generation = 20;

simulation(MM0, BB0, NB_generation, n)

Analyse

Pour les 3 simulation précédente on s’aperçois que quand un gêne est en défaut il a tendance disparaitre c’est à dire que dans la majorité des cas il va disparaitre et l’aléa fait que dans quelque cas il subsiste. Maintenant ceci est le cas uniquement parceque l’on regarde sur 20 génération, en réalité si on regarde sur 200 Génération dans la grande majorité des cas, le gêne en defaut disparait. Lorque a la base on met un nombre équilibrer de gêne, on obtient le meme résultat mais aléatoirement pour B ou M, cela vient de la très faible taille de population.

Question 2 :

set.seed(5)
BB0 = 400;
MM0 = 1200;
n = 2000;
NB_generation = 100;

simulation(MM0, BB0, NB_generation, n)

set.seed(5)
BB0 = 1200;
MM0 = 400;
n = 2000;
NB_generation = 100;

simulation(MM0, BB0, NB_generation, n)

set.seed(5)
BB0 = 500;
MM0 = 500;
n = 2000;
NB_generation = 100;

simulation(MM0, BB0, NB_generation, n)

Analyse

Dans cette deuxième question on on une popultion relativement meme important et par conséquent nous n’observont plus du tout ce phénomène d’extinction comme sur la simulation précédente on a des échantillon de population beaucoup plus stable c’est a dire que lorsque l’on a une population initial avec une certaint proportion de B et une certaine proportion de M ces proportion ne vont pas varier énormément d’une génération à l’autre.

Question 3 :

set.seed(5);
BB0 = 12;
MM0 = 4;
n = 20;
NB_generation = 500;

simulation2(MM0, BB0, NB_generation, n)

set.seed(5);
BB0 = 5;
MM0 = 5;
n = 20;
NB_generation = 500;

simulation2(MM0, BB0, NB_generation, n)

set.seed(5);
BB0 = 4;
MM0 = 12;
n = 20;
NB_generation = 500;

simulation2(MM0, BB0, NB_generation, n)

Analyse

Par soucis de visibilité Imax = 500 pour mes graphs. Contrairement a la question 1, on obtient grâce a cette modification un systeme sans extinction et ça regle un gros problème par rapport au premier modèles qui, avec une si petite population, ne permettait pas d’avoir de résultats exploitable. On peut facilement dire que ce modèle est plus stable que celui de la question 1 car on voit bien que les 10 échantillons donne a peu de chose près la même information : il n’y a pas de zone attractive, les proportions oscillent et la population de départ n’a que très peu d’intêret.

Question 4 :

Le résultat de la question 3 ne m’a pas surpris plus que ça, en revanche, j’ai pu constater que mon intuition n’avais aucun sens par rapport à cette question et si je devais la reformuler ici je dirais que le systeme est plus stable c’est a dire qu’au bout de N génération on ai vue en moyenne autant de BB que de MM. Si je devait modifier le modèle proposé j’essayerais de me pencher sur la question de différence etre une génération et celle d’après pour essayer d’avoir des courbe plus lisse preuve d’un modèle plus stable.