DM

Q1.1) On remarque d’abord que chacune des variables Xi suit une loi uniforme sur [0,a], alors f(x) = P(X <= x) = x/a On prend H(x) = P(M <= x) = (x/a) * (x/a)…(x/a) = (x/a)^n alors la loi de probabilité est H’(x) = (n/a)(x/a)^(n-1) donc E(M) = integrale de x * ((n/a) * (x/a)^(n-1)) dx avec x allant de 0 à a = a * (n/n+1) lorsque n tend vers l’infinie on aura E(M) = a

R Markdown

Q1.2)

set.seed(1)
N= 1000000
f<-function(){
n=10
b=sample(x=1:100, size=1)
X = runif(n,0,b)
return(max(X))

}
res = sample(0,N,replace = TRUE)
for(i in 1:N){
  res[i] = f()
}
mean(res)

## [1] 45.91679

Q2.3) Cette methode choisit par Bob semble bien pour gagner mais elle retourne pas de grande valeur car on remarque que le vecteur casgagnant ne contient pour 10000 essai aucune valeur nulle mais toutes les valeurs sont très petite la valeur moyenne du gain est de 0,5 euros

N = 10000 ## Nb de repetition
f<-function(){
A = runif(1,0,1) ## Nb choisit par Alice entre 0 et 1
n=10
M = max(runif(n,0,A))

for( i in 0:N){
if (M <= A){
  r = 1.1 * M ## valeur gagné par Bob soit 1.1 M ou 0
}else{
  r =  0
}
}
return (r)
}
 casgagnant = sample(0, N, replace = TRUE)
for(i in 0:N){
  casgagnant[i] = f() 
}
mean(casgagnant)

## [1] 0.5013851

Q2.4)

N = 10000 ## Nb de repetition
f<-function(){
  vector = seq(0,1,0.1)
  A = 0
while(A < 0.3){
A = sample(vector, 1)## Nb choisit par Alice entre 0 et 1
}
n=3
vector2 =seq(0,A,0.1)
X = sample(vector2,3)
M = max(X)
return(A,M)
}
Matrice =matrix(nrow= 10,ncol =10)

##for(i in 1:10){
##for(j in 0:10){
##     Matrice[i+1,j+1] = mean(replicate(1000, f))
##  }
##}

Q2.5) Cette methode semble bonne car M^alpha est plus grande que alpha alors on aura des valeurs meilleurs

Exercice 3 Q3.6

N = 10000
A1 = runif(N,0,1)  ## A1 entre 0 et 1
A2 = runif(N,A1,1) ## A2 entre 0 et 1 et plus grand que A1
PF = sample(0:1, size = N, replace = TRUE) 

casgagnant= sample(0, N, replace = TRUE)
for(i in 1:N) {
  if(PF[i]==1 && A2[i]> A1[i]){
    casgagnant[i]=1
  }
}
mean(casgagnant == 1)

## [1] 0.4962

## En utilisant cette méthode la probabilité de gain est de 0.5

Q3.7

La meilleur solution c’est que Bob considère le nombre donné comme le plus grand si ce nombre donné par Alice est plus grand que 0.5 et l’inverse si le nombre est plus petit que 0.5

dans le cas de 0.4 et 0.6 cette methode gagne dans les deux cas avec pile ou face

si les valeurs sont choisit uniformement on peut calculer la probabilité de gagner

N= 1000
A1= runif(N,0,1)  ## A1 entre 0 et 1
A2 = runif(N,A1,1) ## A2 entre 0 et 1 et plus grand que A1
PF = sample(0:1, size = N, replace = TRUE) ##je considère Face 0 et Pile 1

casgagnant= sample(0,N, replace = TRUE)

for(i in 1:N) {
  if((PF[i]==0 && A2[i]> 0.5 ) || (PF[i]==1 && A1[i]<=0.5)) {
    casgagnant[i]=1
  }
}
mean(casgagnant == 1)

## [1] 0.662

## En utilisant cette méthode la probabilité de gain est de 0.63 alors elle est mieux que la methode de Bob

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summary(cars)

##      speed           dist       
##  Min.   : 4.0   Min.   :  2.00  
##  1st Qu.:12.0   1st Qu.: 26.00  
##  Median :15.0   Median : 36.00  
##  Mean   :15.4   Mean   : 42.98  
##  3rd Qu.:19.0   3rd Qu.: 56.00  
##  Max.   :25.0   Max.   :120.00

DM

Dima ASSI

R Markdown

Including Plots