DM1BOLEAT
R Markdown
Pour ce devoir j’ai réflechi avec Rémy Palomo
1.1
set.seed(3)
a = 10
n = 15
k = 100
m = replicate(k, max(as.integer(runif(n,0,a+1))))
mean(m)## [1] 9.69a = 10
n = 10
k = 100
m = replicate(k, max(as.integer(runif(n,0,a+1))))
mean(m)## [1] 9.39a = 100
n = 10
k = 100
m = replicate(k, max(as.integer(runif(n,0,a+1))))
mean(m)## [1] 91.8a = 10
n = 10
k = 100
m = replicate(k, max(as.integer(runif(n,0,a+1))) + a/n)
hist(m)
- On a besoin de soustraire à a un nombre qui décroit quand n devient grand
- On peut donc supposer que \(E[M]= a - \frac{a}{n}\)
Il faudrait lui ajouter a/n pour que son éspérance vaille a
On peut supposer que la variance de M vaut donc \(\frac{a}{n}\)
1.2
set.seed(1)
a = 10
n = 15
k = 100
m = replicate(k, (2/n)*sum(as.integer(runif(n,0,a+1))))
mean(m)## [1] 9.836a = 10
n = 10
k = 100
m = replicate(k, (2/n)*sum(as.integer(runif(n,0,a+1))))
mean(m)## [1] 9.852a = 100
n = 1000
k = 100
m = replicate(k, (2/n)*sum(as.integer(runif(n,0,a+1))))
mean(m)## [1] 99.92454On observe que les M’ obtenus sont plus proches de A pour les mêmes tailles d’échantillons
Démonstration: \(M' = \frac{2}{n} * \sum_{k=0}^{a}X_i\)
or, \(E[\sum_{i=0}^{n}X_i]=\sum_{i=0}^{n}E[X_i]\) et \(E[X_i]= \frac{1}{a+1}*\sum_{k=0}^{a}k = \frac{1}{a+1}*\frac{a*(a+1)}{2} = \frac{a}{2}\)
Donc \(E[M'] = n*\frac{a}{2}*\frac{2}{n}=a\)
On calcule la variance : \(E[M']=a\) donc \(E[M']^2=a^2\) et \(E[M'^2]=\frac{2}{n}*\sum_{i=0}^{n}E[X_i^2]\)
Or, \(E[X_i^2]=\frac{1}{a+1}*\sum_{k=0}^{a}k^2\) \(=\frac{1}{a+1}*\frac{a(a+1)(2a+1)}{6}\) \(=\frac{a(2a+1)}{6}\)
Donc \(E[M'^2]=\frac{2}{n}*n*\frac{a (2a+1)}{6}\) \(=\frac{a(2a+1)}{3}\)
Enfin \(Var(M')= E[M'^2] - E[M']^2\) \(=\frac{a(2a+1)}{3}-a^2\) \(=\frac{2a^2 +a}{3} - \frac{3a^2}{3}\) \(=\frac{a-a^2}{3}\) \(=\frac{a(1-a)}{3}\)
Cet estimateur semble donc meilleur qu’avec M.
2.3
set.seed(3)
res <- NULL
n=10
for (i in 1:1000){
a= runif(1,0,1)
M= max(runif(n,0,a))
r = 1.1 *M
if (r < a){
res[i] <- r-M
} else {
res[i] <- 0
}
}
mean(res)## [1] 0.01631215C’est une stratégie peu payante puisque l’ésperance du gain est assez faible
On le montre grâce à : \(E[M]=A - \frac{A}{n}= A - \frac{A}{10} = \frac{9}{10}A\) et \(E[r(M)]= 1.1 * E[M] = 0.99*A\) donc \(E[G]= E[ r(M)-M ] = E[ r(M)] - E[M] = 0.99A - 0.9A = 0.09A\)
2.4
Ce code permet d’estimer \(P[A=a,M=m]\) pour les valeurs voulues de a et m :
res <- NULL
n=3
for (i in 1:100){
A= as.integer(runif(1,0,10+1))/10
M= max(replicate(n,as.integer(runif(1,0,A*10+1))/10))
a= 0.6
m= 0.5
if (A==a && M==m){
res[i] <- 1
} else {
res[i] <- 0
}
}
mean(res)## [1] 0.04Avec ce code, on trace une estimation de la probabilité de gagner en fonction de la valeur de A lorsque M vaut 0.5 :
set.seed(10)
resf <- NULL
for (j in 5:10){
res <- NULL
n=3
for (i in 1:100){
A= as.integer(runif(1,0,10+1))/10
M= max(replicate(n,as.integer(runif(1,0,A*10+1))/10))
a= 0.1*j
m= 0.5
if (A==a && M==m){
res[i] <- 1
} else {
res[i] <- 0
}
}
resf[j] <- mean(res)
}
plot(resf)
On observe que la meilleure valeur pour A dans ce cas est 0.5
2.5
C’est une meilleure stratégie que le facteur car elle permet d’approcher plus rapidement la valeur de A.
set.seed(1)
res <- NULL
n= 2
alpha= 0.7
for (i in 1:100){
a= runif(1,0,1)
M= max(runif(n,0,a))
r = M^alpha
if (r < a){
res[i] <- r-M
} else {
res[i] <- 0
}
}
"pour alpha = 0.7"## [1] "pour alpha = 0.7"mean(res)## [1] 0.05974903res <- NULL
n= 2
alpha= 0.5
for (i in 1:100){
a= runif(1,0,1)
M= max(runif(n,0,a))
r = M^alpha
if (r < a){
res[i] <- r-M
} else {
res[i] <- 0
}
}
"pour alpha = 0.5"## [1] "pour alpha = 0.5"mean(res)## [1] 0.06802448res <- NULL
n= 2
alpha= 0.3
for (i in 1:100){
a= runif(1,0,1)
M= max(runif(n,0,a))
r = M^alpha
if (r < a){
res[i] <- r-M
} else {
res[i] <- 0
}
}
"pour alpha = 0.3"## [1] "pour alpha = 0.3"mean(res)## [1] 0.05468087La meilleure valeur pour alpha parmi ces 3 nombres est 0.5 Pour essayer de trouver mieux, on peut représenter une estimation de l’ésperance du gain G en fonction d’alpha
set.seed(1)
resf<- NULL
for (j in 1:10){
res <- NULL
n= 2
alpha= j/10
for (i in 1:100){
a= runif(1,0,1)
M= max(runif(n,0,a))
r = M^alpha
if (r < a){
res[i] <- r-M
} else {
res[i] <- 0
}
}
resf[j]<-mean(res)
}
plot(resf)
On observe que le gain varie beaucoup mais que le pic se trouve souvent entre 0.4 et 0.6
set.seed(1)
res <- NULL
n= 10
alpha= 0.7
for (i in 1:100){
a= runif(1,0,1)
M= max(runif(n,0,a))
r = M^alpha
if (r < a){
res[i] <- r-M
} else {
res[i] <- 0
}
}
"pour alpha = 0.7"## [1] "pour alpha = 0.7"mean(res)## [1] 0.005931772res <- NULL
n= 10
alpha= 0.5
for (i in 1:100){
a= runif(1,0,1)
M= max(runif(n,0,a))
r = M^alpha
if (r < a){
res[i] <- r-M
} else {
res[i] <- 0
}
}
"pour alpha = 0.5"## [1] "pour alpha = 0.5"mean(res)## [1] 0.01075223res <- NULL
n= 10
alpha= 0.3
for (i in 1:100){
a= runif(1,0,1)
M= max(runif(n,0,a))
r = M^alpha
if (r < a){
res[i] <- r-M
} else {
res[i] <- 0
}
}
"pour alpha = 0.3"## [1] "pour alpha = 0.3"mean(res)## [1] 0.005848023Pour n=10, c’est pour alpha=0.7 que le gain est le plus grand
set.seed(8)
resf<- NULL
for (j in 1:10){
res <- NULL
n= 10
alpha= j/10
for (i in 1:100){
a= runif(1,0,1)
M= max(runif(n,0,a))
r = M^alpha
if (r < a){
res[i] <- r-M
} else {
res[i] <- 0
}
}
resf[j]<-mean(res)
}
plot(resf)
Pour n=10, le pic se trouve entre 0.7 et 0.8, donc la meilleure valeur pour alpha se trouve aux alentours de 0.75
En définitif, la méthode du facteur est plus efficace lorsque le nombre n de tirages est grand tandis que celle de la puissance a une meilleure efficacité lorsque n est petit (si on choisit bien alpha).
set.seed(4)
resf<- NULL
resf2<- NULL
for (j in 1:10){
res <- NULL
res2 <- NULL
n= j
alpha= 0.6
for (i in 1:100){
a= runif(1,0,1)
M= max(runif(n,0,a))
r = M^alpha
r2 = 1.1*M
if (r < a){
res[i] <- r-M
} else {
res[i] <- 0
}
if (r2 < a){
res2[i] <- r2-M
} else {
res2[i] <- 0
}
}
resf[j]<-mean(res)
resf2[j]<-mean(res2)
}
i=1:10
plot(resf,type ="p",col="blue",xlab ="nb de tirages",ylab = "E(G)")
par(new = TRUE)
plot(resf2,type ="p",col="red",xaxt="n",yaxt="n",xlab ="",ylab = "")
legend("topright", c("^alpha", "* 1.1"),
col = c("blue", "red"), pch = c(1, 1))
```