--- title: "Loi des grands nombres" author: "Nicolas Gast, Arnaud Legrand" date: "5 novembre 2015" output: html_document: toc: true theme: cosmo highlight: tango --- Il commence à faire froid, les nuits sont longues, vous avez décidé de jouer au casino. Dans ce TD, on se propose de simuler un modèle simple de jeu de pile ou face et de déterminer par simulation quel est le temps moyen qu’un joueur joue avant de perdre toute sa mise ou d’arriver à gagner un montant $M$ fixé à l’avance (les responsables de casinos sont souvent assez désagréables avec les petits malins qui gagnent trop d'argent...). Le modèle est le suivant: * Initialement, le joueur rentre au casino avec une somme fixée (par défaut, 10 euros) * Tant que le joueur a joueur a $X\in\{1,\dots,M-1\}$ euros, il mise un euro et gagne deux euros avec probabilité $p$ (ce qui veut dire qu’au coup suivant, il a $X+1$ euros avec probabilité $p$ et $X-1$ euros avec probabilité $1-p$). On cherche à évaluer le temps moyen que le joueur va jouer et son gain moyen dans les deux cas suivants: * lorsque le joueur s’est fixé à l’avance une somme $M$ et qu’il arrête de jouer lorsqu’il a $M$ euros. * lorsque le joueur joue tant qu’il n’est pas ruiné ($M=+\infty$) Pour vous faire gagner du temps, la première section de ce document comporte quelques fonctions permettant de simuler ces différentes situations. Les sections suivantes sont à compléter par vos soins. # Simulation ## Une petite fonction de simulation Nous vous proposons d'utiliser la fonction suivante. ```{r} set.seed(42); trajectory = function(init=10,gain_max=20,p=1/2,t_max=NA) { t=1; current_gain = init traj = c(); traj[1] = current_gain; while (current_gain!=0 & (is.na(gain_max) | current_gain1/2$ (par exemple $p=0.6$ pour commencer) À vous de jouer! ## Petit bilan À vous de jouer! $p$ | $<.5$ | $=.5$ | $>.5$ | ------------------ | ----- | ----- | ----- | Proba banqueroute | | | | Temps passé | | | | Gain moyen | | | | # Étude du cas infini. On s'intéresse maintenant au cas infini (i.e., `gain_max=NA`). Il est alors possible que la simulation ne s'arrête pas. Si vous avez l'impression d'avoir des problèmes de durée de simulation un peu trops grands, vous prendrez donc soin de borner la durée de la simulation (e.g., `t_max = 1000`). Encore une fois, vous vous intéresserez à la probabilité de banqueroute, au temps passé au casino, et au gain moyen (si cela a du sens...). **Afin de bien comprendre ce qu'il se passe, nous vous suggérons de réaliser ces études pour différentes valeurs de `t_max` (par exemple 10, 100, 1000) et de regarder graphiquement comment la probabilité de banqueroute et le temps passé évoluent avec `t_max`.** ## Cas où $p<1/2$ À vous de jouer! ## Cas où $p=1/2$ À vous de jouer! ## Cas où $p>1/2$ À vous de jouer! ## Petit bilan À vous de jouer! p | <.5 | =.5 | >.5 | ------------------ | ----- | ----- | ----- | Proba banqueroute | | | | Temps passé | | | | Gain moyen | | | |